a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có 

\(\widehat{ABC}\) chung

DO đó:ΔABC\(\sim\)ΔHBA

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=HB\cdot HC\)

c: Xét tứ giác ADHE có

\(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{DAE}=90^0\)

Do đó:ADHE là hình chữ nhật

Suy ra: AH=DE

mà \(AH=\sqrt{4\cdot16}=8\left(cm\right)\)

nên DE=8cm

a/

\(AH^2=HB.HC\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ từ đỉnh góc vuông xuống cạnh huyền bằng tích các hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{HB.HC}=\sqrt{4.9}=6cm\)

\(\tan\widehat{ABC}=\dfrac{AH}{HB}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}\)

b/

Xét tg vuông AHB có

\(HB^2=BD.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông AHC có

\(HC^2=CE.AC\) (lý do như trên)

\(CE.BD.AC.AB=HB^2.HC^2=\left(HB.HC\right)^2\)

Mà \(HB.HC=AH^2\) (cmt)

\(\Rightarrow CE.BD.AC.AB=AH^4\)

c/

\(HD\perp AB;AC\perp AB\) => HD//AC => HD//AE

\(HE\perp AC;AB\perp AC\) => HE//AB => HE//AD

=> ADHE là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => ADHE là HCN

Xét tg vuông ADH và tg vuông ADE có

HD = AE (cạnh đối HCN)

AD chung

=> tg ADH = tg ADE (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông = nhau)

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{AHD}\) 

\(\widehat{AHD}=\widehat{B}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\) ) 

\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{B}\) (1)

\(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\) (2)

\(\widehat{IAE}+\widehat{AED}=90^o\Rightarrow\widehat{IAE}+\widehat{B}=90^o\)  (3)

Từ (2) và (3) => \(\widehat{IAE}=\widehat{C}\) => tg AIC cân tại I => IA=IC

Ta có

\(\widehat{IAE}+\widehat{BAI}=\widehat{A}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{C}+\widehat{BAI}=90^o\) mà \(\widehat{C}+\widehat{B}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{B}\) => tg ABI cân tại I => IA=IB

Mà IA= IC (cmt)

=> IB=IC => I là trung điểm của BC

Tứ giác AEHF là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) \(\Rightarrow HE=AF\)

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AFH:

\(AH^2=AF^2+HF^2=HE^2+HF^2\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB với đường cao HF:

\(HF^2=AF.FC\)

Tương tự:

\(HE^2=AE.EB\)

\(\Rightarrow AH^2=HE^2+HF^2=AE.EB+AF.FC\) (đpcm)

a: Xét ΔABH và ΔCAH có

góc ABH=góc CAH

góc AHB=góc CHA

=>ΔABH đồng dạng với ΔCAH

b: ΔAHB vuông tại H có HD là đường cao

nên AD*AB=AH^2

ΔACH vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AC=AH^2=AD*AB

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng vơi ΔHBA

=>BA/BH=BC/BA

=>BA^2=BH*BC

b: ΔAHB vuông tại H có HE là đường cao

nên AE*AB=AH^2

ΔAHC vuông tại H có HF là đường cao

nên AF*AC=AH^2

=>AE*AB=AF*AC